IELTS Test Report Form

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有圖有真相 XD。

寄出

歷經數星期，買到便利箱、拿到填塞用的舊報紙、並補好腳踏車前輪，今天中午終於便當全部準時到而且前一天晚上有睡飽，成功把堆在房裡的三本 JavaPL4e 中文版寄出去了。比台大區慢了三週左右吧，希望沒讓這三人等得心焦如焚 XD。

託運單號碼：

北方香	00900254000070
Thundermyth	00900454000070
無塵	00901054000070

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郵局國內快捷/包裹/掛號查詢 XD。

A first, crude explanation

我對 "rank A = rank A^T" 的第一版解釋。設 A 為 m x n 矩陣。

考慮 independent columns 的個數 c。我們知道 c 加上 A 的 null space 的維度恆為 n。直覺上，A 把愈多 domain 裡的向量銷為 0，在 codomain 所能展開的空間就愈小。這是大家熟悉的 rank-nullity equation。

次考慮 independent rows 的個數 r。視每個 row 為一個 homogeneous linear equation 的係數，把這些 equations 聯立起來，解空間 ─ 恰好仍是 A 的 null space ─ 的維度加上 r 亦恆為 n。直覺上，有愈多 independent equations 的限制，解空間就愈小。這是關於 annihilators 的維度式。

因為 null space 的維度和 n 固定，c 就等於 r 嘍。

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這是出發點，下一步是試著用維度式背後的同構式去看。星星斜線滿天飛…

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把 rows 和 columns 互換一下，可以得到星星比較少的同構式：

Im t ≅ (Im t)* ≅ V' * / Annih Im t = V' * / Ker t* ≅ Im t*

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看起來稍嫌不友善…

Annihilators

回到 rank A = rank A^T，Mac Lane & Birkhoff 證明時用到

dim S + dim (Annih S) = dim V

其中 S 是 finite-dimensional vector space V 的 subspace。關於 annihilators 其實有兩個更強的式子：

S* ≅ V* / Annih S

和

(V/S)* ≅ Annih S

對任一個同構式兩邊取 dim 都可以得到最先列出的維度式（要用到「V 同構於 V*」）。第二個同構式比較好理解：Annih S 的元素是那些把 S 銷為 0 的 morphisms，所以它們在 V 上的行為完全取決於它們在 V/S 上的行為（universal property of quotients）。第一個同構式就讓我很困擾，很難想像右邊是什麼東西。如果鑽一陣子鑽不出來，我就先用第二式繼續看 rank A = rank A^T 嘍…

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「V 同構於 V*」的直覺好像也還不是很堅固…

IELTS Result

Listening 9, Reading 8.5, Writing 7, Speaking 7, Overall 8.

又是爆衝…

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Reading 還比 Listening 低 XD。

Letters

結果這週的重點好像都是寫信嘛，一封接著一封，再來好像還有更多封要寫 XD。

自從入伍，我好像陷入情感的漩渦，陷得有點太深了，情緒失控的次數些微增多。該讓情感收歸於理性掌控之下啦。

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不過或許也是這樣才讓我稍稍察覺自己情感的深度。

IELTS

早上三小時 listening、reading、writing 接著考，中午回家休息，下午三點半回去考 speaking。Listening 和 reading 感覺比練習時更簡單更有把握，尤其是前者。不過有一題要我們填東西遺失在火車的哪裡，我聽到 rack 的音也拼出來可是不知道是啥，之後抄到答案卡的時候乾脆改成好像比較熟但還是忘記是啥的 wreck，結果 rack 才是對的，wreck 是船難 XD。（八成是 Star Trek 聽來的 XD。）Writing 就不太行，寫得比平常慢，Task I 還沒寫到指定字數，時間就差不多了，趕緊換到配分較重的 Task II，事後證明及時轉換是對的，因為寫到最後三十秒才敲定最後一個字 XD。沒時間檢查修潤，全部是援筆立就，所以應該沒辦法寫得很好吧。Speaking 的水準應該和平常練習差不多，不同的是為求流暢，文法時態一團混亂，而且還是停了不少次 XD。考官切斷錄音之後有問「你是不是有說英文的朋友還是住過國外，因為你用的一些片語…」我好像這時候說 "no, actually not" 所以沒聽到他後半句想講什麼 XD。（之後他說「所以你是聽電台看電視之類的嘍」我說 "yeah, that's right"，心裡想的當然是 Star Trek XD。）希望這是某種好徵兆 XD。

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下下週五中午十二點過後可查成績！

Continuations

我最近研讀 dual (vector) spaces 的一個重點（或許說動機）是了解 matrix transpose 究竟發生什麼事。正常的線性代數課程都會描述 matrices 和 linear transformations 之間的對應關係，因此很自然會問一個 transposed matrix 所對應的 linear transformation 是什麼。我一直到最近才接觸 dual spaces，也因此到最近才知道 transposed matrices 對應的是 dual morphisms。給一個 linear transformation

t : V \to V'

並為 finite-dimensional spaces V 和 V' 分別找一組 basis

\{b_j\}_{j=1}^n \subset V, \qquad \{b_i'\}_{i=1}^m \subset V'

和 dual basis

\{x_j\}_{j=1}^n \subset V* = V \to F, \qquad \{x_i'\}_{i=1}^m \subset {V'}^* = V' \to F

那麼對應於 t 的矩陣 A 每個元素可寫成

A_{ij} = x_i'(t b_j) : F

此處 function application（和稍後的 function composition）只以 juxtaposition 表示。因為 1 ∈ F 是 universal to the forgetful functor on the category of vector spaces over F，我們可以把 basis b_j 提升為一個 morphism

b_j^\uparrow(\lambda) = b_j \lambda : F \to F

那麼 A_ij 也可一併提升為

A_{ij}^\uparrow = x_i' t b_j^\uparrow : F \to F

直觀意義是把 V 上（相對於 { b_j }）第 j 個分量轉換為 V' 上（相對於 { b_i' }）第 i 個分量的 morphism。A^T_ji 也可以從同一個角度看，寫成

{A^{\mathrm T}_{ji}}^\uparrow = b_j^{**} t^* {x_i'}^\uparrow : {V'}^* \to V^* = (V' \to F) \to (V \to F)

其中 b_j^** 是套用 V 到 V^** 的 natural isomorphism 得到的

b_j^{**}(f) = f b_j : V^{**} = V^* \to F = (V \to F) \to F

現在有趣的是我們知道 A^T_ji = A_ij，右側從 basis 跑到 dual basis，左側從 dual basis 跑回 basis。到底是什麼讓兩者跑的方向不同呢？我觀察一陣子，發現右側到左側的變化根本就是改寫成 continuation-passing style 嘛！t^* = f ↦ ft 是 t 的 cps 版本，拿一個 continuation f 接在 t 之後；b_j^** 等於是把 b_j "inject" 成一個 cps function。當 cps functions 接起來時，順序自然就和正常的 function composition 相反了。把視點拉高，若要把一個 linear transformation 改寫成 cps，只要把對應的矩陣裡每個元素都改寫成 cps 就行了。Fascinating! 或許用 continuations 來看 dual spaces 會獲得更多直覺？

今天早上起床就看到 comlab 剛貼出 DPhil 招生公告，接下來一整天都覺得壓力沈重 XD。有獎學金的 deadline 最晚是 22 January 2010，所以我大概剩 11 月把 CV & research proposal 生出來，留一個多月時間讓老師們寫 references（這樣夠吧？）。三個 referees 不好找吶…

另外就是星期一辦管理幹部的候選人推薦，我得了兩票（共十七票），所以下週四要發表「政見」，緊接著完成選舉。欸，因為從推薦票數看來已經很清楚是哪兩人當選了，所以當天算是陪他們選吧 XD。「政見」我倒是不想太隨便就是了，我沒辦法用純開玩笑的心情看這種事…

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等（這次）IELTS 考完再說 XD。Writing 是寫得完了，可是就算 writing 過得去，還有 speaking 擋著呀…