Least Fixed Point and Point-Set Topology

Rudin 第二章的 13 號練習題："Construct a compact set of real numbers whose limit points form a countable set." 我的造法是從 T = { 1/(2^k) | k is a positive integer } 開始，把 T 的 closure 嵌在 [0, 1] 上當作「印章」，然後把印章均勻地縮成一半長度之後蓋在 [1/2, 1] 上面，再縮一半長度蓋在 [1/4, 1/2] 上面，如此下去。蓋了無窮多次之後，取最終集合的 closure 就是答案。（欸，我知道寫得這麼不正式其實沒什麼好處啦 XD。）可以證明這個答案確實是 bounded & closed 因而 compact（從實數完備性來的），而且所有 limit points 正好是 0 或 1/(2^k) 因而 countable。可是真的把這個 set 寫下來某種程度而言還是挺囉唆的，因此我試著把它寫成某個函數 f : P(R) -> P(R) 的 least fixed-point，希望可以從 f 的性質推得 least fixed-point 的性質。函數 f 很簡單：拿到一個集合之後以 0 點為中心把這個集合線性地縮寫 1/2 倍，接著把長 1/2 的印章蓋在 [1/2, 1] 上面。從 Kleene's theorem 可以很清楚地看到答案的建造過程。很可惜的是，除了 boundedness 以外我還不太能從 f 的性質推得我需要的性質，特別是 "the set of limit points is countable"。目前就先擱著 XD。

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我一開始誤以為要取 greatest fixed-point（因為看起來有點 unfold 的味道），不過 gfp 其實是整個實數集。