Incompatibility

昨天企圖從隨機客的 little-o 定義推到 CLRS 的定義（反向是 trivial），發現怎麼湊都不對，最後造了一組反例：

則 f(n) = O(g(n)) 且 f(n) \neq \Omega(g(n))，依隨機客的定義就有 f(n) = o(g(n))。但考慮 CLRS 的定義（也就是常見的定義），若取 c = 1/2，則 f(n) > c g(n) infinitely often，不可能在哪個 n_0 之後恆有 f(n) < c g(n)。所以隨機客的定義條件是比較弱的。寫信給隨機客，但他似乎不打算回應… 剛剛想用隨機客的定義反證作業第一題逼隨機客出面，但試了之後發現好像沒辦法，因為 n^2 太正常了（compared with the g(n) above）。

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真煩，不管了。

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現在用 Weijin 的帳號貼到隨機板上了。這樣應該很難裝作沒看到？XD

 作者  jimbedb (XD)                                                 看板  hil 
 標題  [問題] little-o 的定義與課本不相容？                                   
 時間  Sun Oct 21 20:57:20 2007                                               
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老師在 slide 1 p.94 對 f(n) = o(g(n)) 的定義是

    f(n) = O(g(n))    and    f(n) \neq \Omega(g(n))，

而課本在 p.48 的定義（以及查得到的所有其他定義）是

    for any c > 0, there exists n_0 > 0 s.t. f(n) < c g(n) when n > n_0。

第一個定義的條件是比較弱的。若我們令

    f(n) = n，

    g(n) = n      if n is odd
         = 2^n    if n is even，

那麼 f(n) = O(g(n)) 而且 f(n) \neq \Omega(g(n))，所以 f(n) = o(g(n))。
但在第二個定義下，若取 c = 1/2，f(n) 會在奇數點上大於 g(n)/2，而不可能
在某個 n_0 之後使 f(n) < c g(n) 恆成立，因此 f(n) \neq o(g(n))。

所以第一個定義是不是不夠充分呢？

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※ 發信站: 批踢踢兔(ptt2.cc)
◆ From: 140.112.249.77

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隨機客終於回了！

→ hil:有趣的例子! ;)                                           推 10/21 23:51
→ hil:好像變得有點像哲學問題, 就是這種狀況要不要當作little-o?  推 10/21 23:52
→ hil:為了不要搞混大家, 我們還是維持原來課堂上的定義.          推 10/21 23:53
→ hil:畢竟這樣的定義對於「一般」的演算法時間複雜度的函數是OK的 推 10/21 23:53
→ hil:「隨機客」明年再改成課本那樣好了..                       推 10/21 23:54
→ hil:Good job!! (or nice boat? ;)                             推 10/21 23:55

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所以真的沒收到我的信嗎…？