Bolzano-Weierstrass 定理證明

任意有界（無窮）數列必有收斂子數列。

證明：設數列 {a_n} 有界。把數列的每個值放進集合 S 中，然後分 S 元素個數有窮和無窮兩個情形討論：

1. S 為有窮點集，那麼一定有一個元素在 {a_n} 出現無窮多次。因為倘若每個元素都只出現有限次，總共又只有有窮個元素，那麼這個數列將不是無窮數列 →←，所以至少有一個元素會出現無窮多次。那麼就取那個出現無窮次的元素為所求的子數列，顯然收斂。
2. S 為無窮點集，那麼就再找無窮二分搜尋與區間套定理登場。因為 {a_n} 有界，所以可以找到一個區間把 {a_n} 所有的值都收納在裡面。在中間值定理證明中實施無窮二分搜尋時，我們選擇左半或右半區間的準則是維持兩端函數值異號，這裡則是選擇「含有 S 中無窮元素」的那一半。這一定會存在，因為倘若左半和右半區間都只有有窮元素，那 S 會是有窮點集（或 {a_n} 不為無窮數列）→←，所以一定會有某一半含有 S 裡面的無窮個元素。遞迴實施此步驟，我們就得到和中間值定理證明一樣的區間套。同時，我們在嵌套過程中，對每個取到的區間都取裡面一個（也在 S 裡面的）數當作子數列的下一個數。因為所選區間內含無窮個元素，所以無論在上一個區間內取到的數在原數列中的 index 為何，在當前這個區間一定都能取到 index 比前一個 index 還大的數列元素作為子數列的下一個元素。而區間套定理保證最後會套到唯一一個實數，也就保證無窮二分搜尋途中所取的子數列最終會收斂到那個實數。

這證明也很玄妙 :)！

接下來是一個 lemma，稍後證明最大最小值定理時會派上用場：f 在 [a, b] 上連續，則 S = {f(x) | x \in [a, b]} 有界。

證明：用反證法，假設 f 無界。我們於是能在區間 [a, b] 裡面找到一個數列 {x_n}，把這個數列的值依序軋進 f 裡面使得函數值（的絕對值）愈跳愈高直至無窮。由 B-W 定理知，這個數列中必存在一個收斂子數列 {x_nk} 收斂到一點 x₀ \in [a, b]，也就是 lim_{k → ∞} x_nk = x₀。因為把這個子數列的值依序軋入 f 最終也會使 f 的函數值（的絕對值）跳到無窮，所以 lim_{k → ∞} f(x_nk) 不存在，但根據連續函數的性質，lim 和 f 的施用順序可調換，也就是 f(lim_{k → ∞} x_nk) = f(x₀)，這應該是個有限（也就是存在的）實數 →←！於是得到 f 有界，從而 S 亦有界。

--
下次我用 LaTeX 的語法打一打就算了 ─ HTML 源碼內的數學式整個被破壞掉了 XD。Blogger（or Firefox, Safari, ...）有沒有打算提供對 LaTeX 的原生支援（native support）？XD