實數建構 ─ 實數加法與乘法

承接上一篇《實數建構 ─ 有理增數列與實數系之全序》，本篇建立實數的四則運算。減法和除法只是加法和乘法的反運算，所以實際上僅需建立加法與乘法。

首先提出一點：在這個建構方式下，有理數很自然地包含在實數內。每個實數背後是同值的有界遞增有理數列的集合（所謂 equivalent class），而有理數 q 所對應的 equiv. class 就是 {q, q, q, ...} 這個「增」數列所代表的那個 equiv. class。

以下列出加法和乘法的公理（axioms）：

• (A1) 若 x \in R、y \in R，則 x + y \in R。（封閉性）
• (A2) x + y = y + x forall x, y \in R。（交換律）
• (A3) (x + y) + z = x + (y + z), forall x, y, z \in R。（結合律）
• (A4) 存在一個元素 0 \in R 使得 0 + x = x forall x \in R。（單位元素存在）
• (A5) 對於所有元素 x 均存在元素 -x 使得 x + (-x) = 0。（反元素存在）

• (M1) 若 x \in R、y \in R，則 xy \in R。（封閉性）
• (M2) xy = yx forall x, y \in R。（交換律）
• (M3) (xy)z = x(yz), forall x, y, z \in R。（結合律）
• (M4) x(y + z) = xy + xz, forall x, y, z \in R。（分配律）
• (M5) 存在一個元素 1 \in R 使得 1x = x forall x \in R。（單位元素存在）
• (M6) 對於所有不等於 0 的元素 x 均存在元素 1/x 使得 x(1/x) = 1。（反元素存在）

因此我們定義實數加法和乘法時，必須確保遵循上述公理。定義方式事實上很簡單，對於兩個實數 ξ 和 η，從兩者背後的 equiv. classes 各任意抽一個數列出來，記為 ξ ∼ x = {x_1, x_2, x_3, ...} 和 η ∼ y = {y_1, y_2, y_3, ...}，然後定義 ξ + η 為數列 {x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3, ...} 所屬的 class。這個新的有理數列仍然遞增有上界，因此立刻滿足 (A1)。(A2) 和 (A3) 從有理數系的交換律和結合律立即可得。(A4) 所要求的 0 元素就是 {0, 0, 0, ...} 所屬的 class。乘法亦類似，從兩個實數背後的 equiv. class 各抽出一個數列，然後把「兩個正實數的積」定義為「兩數列逐項相乘所成的新數列」所屬的 equiv. class，再另外定義 "ξ > 0, η < 0 ==> ξη = - ξ(-η)" 等涉及負數的狀況。(M1) 顯然成立，(M2) 到 (M4) 由有理數系的交換律、結合律、分配律立得，(M5) 所要求的單位元素 1 就取 {1, 1, 1, ...} 所屬的 class。

麻煩的是反元素，也就是 (A5) 和 (M6)。就 (A5) 而言，如果對任意實數 ξ ∼ x = {x_1, x_2, x_3, ...}，直接找 η ∼ x' = {-x_1, -x_2, -x_3, ...} 想使 ξ + η = 0，這樣會有麻煩 ─ x' 不是有界增數列，而是有界減數列，根本不屬於 B！因此我們必須另外找一個有界增數列相應於 η 使 ξ + η = 0。找法如下：找兩個數列 {u_n} 和 {v_n}，{u_n} 為 x 的子數列（顯然有上界遞增，而且和 x 處於同一個 equiv. class 之內 ─ {u_n} 和 x 代表的是同一個實數），{v_n} 有下界遞減且每項均為 x 的上界。讓這兩個數列間的差 u_n - v_n 趨近於零，即 u_n + (-v_n) 趨近於零，那麼就找到 η ∼ y = {-v_1, -v_2, -v_3, ...} 使得 ξ + η = 0。（要嚴謹論證的話，必須從有界遞增有理數列同值的定義驗證 {u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3, ...} ∼ {0, 0, 0, ...}。）這樣的 η 就沒問題，因為 {v_n} 遞減有下界，所以 {-v_n} 遞增有上界，的確定義了一個實數。

這兩個數列的精確找法仍是無窮二分搜尋：首先取 u_1 為 x_1，v_1 為 x 的某個上界，然後取兩者中點 m。如果 m 為 x 的上界，就取 u_2 = u_1、v_2 = m；如果 m 不是 x 的上界，代表存在 k 使得 x_k > m，取 u_2 = x_k，v_2 = v_1。如此「取 u_n 和 v_n 中點得到 u_{n + 1} 和 v_{n + 1}」以至無窮，就得到所求的兩個數列。因為二分搜尋的緣故，這兩個數列對應項的差每次都至少減半（說「至少」是因為 m 不為 x 上界時減少超過一半），所以最後會趨近於零（由夾擠原理）。

(M6) 亦類似。ξ ∼ x = {x_1, x_2, x_3, ...}，不妨設 x_n > 0 forall n。依上述方式找到 {u_n} 和 {v_n} 後，就找到正實數 η ∼ y = {1/v_1, 1/v_2, 1/v_3, ...}，{v_n} 遞減有下界，因此 {1/v_n} 遞增有上界（在 B 裡面，沒問題），u_n - v_n 趨近於零，因此 u_n / v_n 趨近於 1（由極限操作規則），所以的確 ξη = 1。如果 ξ < 0，只要一開始找 x 的上界當作 v_1 時找一個負數，就不會發生 v_n = 0 的麻煩，其餘論證仍然成立。

這些公理確定成立後，一般我們熟悉的實數四則運算便盡皆成立。例如消去律 "x, y, z \in R, x + z = y + z ==> x = y" 可這麼證明：x = x + 0 = x + (z + (-z)) = (x + z) + (-z) = (y + z) + (-z) = y + (z + (-z)) = y + 0 = y，每一步都是從加法公理而來。

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下次是完結篇：傳說中的實數完備性！