不等式之母

和老妖討論「三次方 Cauchy 不等式」和 Hölder 不等式究竟誰比較 general。我說應該是前者，因為 Hölder 不等式只有兩個數列，取 p = 3/2、q = 3 時，可將有平方的那一項拆成兩項，次方形狀就和三次方 Cauchy 不等式相同。但三次方 Cauchy 不等式有三個數列，所以還是三次方 Cauchy 不等式比較 general。不過剛剛突然想到可以用兩次 Hölder 不等式湊出三次方 Cauchy 不等式，果然 OK：

所以 n 次 Cauchy 不等式和 rational p, q 的 Hölder 不等式等價。高中另一個重要的算幾不等式也是同根生，p-norm 下的 Minkowski 不等式在 p = 1 時就是三角不等式，都系出同源。這一切都來自 -ln x 的 strictly convex 性質，無怪乎金次要稱之為不等式之母了。而 -ln x 本身和它的 strictly convex 性質又可追溯至實數完備性。

--
竟然用了中括號 XD。