2008/03/12

自己做 MSS Derivation

從來沒有自己做過一遍 maximum segment sum 的 derivation,對這個經典問題太失禮了。於是今天計算機網路課堂上就自己導一次。(啊,我真的聽不太下去 XD。)有進步的地方是一開始整理用到的其中兩條規則,我現在知道是 "naturality of concat : F ← FF" 和 "functor (map) respects composition"。可是到中間果然卡住了:在湊其中一個 fusion condition 時為了把 max 擠到 recursive term 旁邊,我直接和後面的 map (x+) 做 type functor fusion,然後就再也沒辦法把 max 析取出來。偷看 scm 老師的 slides,才知道這裡要一步到位,直接證明 max . map (x+) = (x+) . max。這個式子就很單純,左邊做 type functor (fold-map) fusion 右邊做 fold fusion 就得到同一個 fold,而右邊的 fold fusion 就會用到 scm 老師說的關鍵 "+ distributes into ↑",即 x + (y ↑ z) = (x + y) ↑ (x + z)

scm 老師最後停在一個 linear-time, linear-space algorithm,並說可藉著 tupling transformation 轉成一般看到的 linear-time, constant-space algorithm。既然如此就來導吧!We reason:

其中「天啟」(revelation)那一步其實也沒那麼神奇。如果我們想直接把 max 融進 scanr,試著證明 fusion condition:

這時就發現我們會用到 head xs,但我們只能用 max xs。於是為了兩個都能用,就很自然地引進 fst . <max, head> 啦。最後是 fusion condition 的證明:

可以看到最終演算法裡面的 0 ↑ (x + z) 算的就是 maximum prefix sum("prefix" 是因為 foldr 是從尾端累積回來的),y 就是 maximum segment sum。

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但我仍然還沒透徹了解為什麼四次 fold fusion 之後就能得到這個演算法…


想要一個也順便傳回那個 maximum segment 的演算法,但是改 specification 重導很麻煩。有好方法嗎?

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該不會要用 monad 吧 XD。

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