論箭頭的單調與反單調性

今天 meeting 的時候卡在這裡一陣子，整理一些詮釋方法。我們稱 "N -> P" 裡面 N 的位置為 negative position，P 的位置為 positive position。當 P 變強時 N -> P 會隨之變強，當 N 變強時 N -> P 反而會變弱。邏輯上可直覺解釋為「從同樣的前提能推得更強的結果，所以整個推論比較強」以及「需要更強的前提才能推得相同的結論，所以整個推論比較弱」。

畫張圖或許比較清楚。考慮集合 S = {x | P(x)}，當 P 較弱時 S 比較大（例如取 P x = true），當 P 較強時 S 比較小（因為能達到較嚴苛要求的元素比較少）。令 P 和 Q 是任意的條件，那麼 P -> Q 是一個新的條件，對應以下的黃色部份：

因為不滿足 P -> Q 的元素只有那些「滿足 P 但不滿足 Q」的元素。若已知 Q -> Q'，那代表 Q' 對應的集合是 Q 對應集合的 superset。請按上圖連結到 gif 動畫，就可看到 P -> Q' 所涵蓋的範圍會比 P -> Q 多出橘色那一塊，因此 Q 愈弱 P -> Q 也愈弱。類似地，若已知 P -> P'，按下圖連結就可看到 P' -> Q 涵蓋的範圍比 P -> Q 少了慘綠色那一塊，因此 P 愈弱 P -> Q 反而愈強。

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其實並不完全直覺 XD。