2006/09/24

最大最小值定理證明

最大最小值定理(極值定理)的證明需用到先前提的 B-W 定理和 lemma,以及另外一版的實數完備性,比較複雜一點。最大最小值定理是說,若 f 在閉區間上連續,則必能在其中找到函數值(在這個區間上)的最大值和最小值。

證明:因為 f 在 [a, b] 閉區間上連續,所以由上述 lemma,f 在此閉區間內所有函數值所成的集合 S = {f(x) | x \in [a, b]} 必有界。又由另一版的實數完備性「集合若上方有界則必有最小上界」,也就是說只要把界限推過最小上界一點點,就能觸及該集合內的元素。注意這版實數完備性並未保證「最小上界」在集合內 ─ 例如集合 S = [a, b) 有最小上界 b,但 b 不在集合內。

精彩的部份來了:因為連續函數之性質,我們可以保證最小上界就在集合 S 之內(也就是說可以找到一個 x_0 使得 f(x_0) = M)!假設最小上界為 M,我們找一個數列從下面慢慢逼近它,例如 M - 1/n,因為 M 是最小上界,所以在區間 [M - 1/n, M] 裡面一定有 S 的元素,也就是一定有個從 f 產生出來的函數值,假設是 f(x_n)。這邊的手法很妙:我們有個數列在函數值域(roughly S)中一次往上推一格,最後推抵 M,每次在僅存的空間裡面找一個數 y_n,形成一個收斂數列到 M(此處收斂是因為夾擠定理)。同時,也把這個數列映在定義域上(roughly [a, b]),也就是為每個 y_n 找一個 x_n 使得 y_n = f(x_n),而在 [a, b] 裡面形成另一個無窮數列 {x_n}。{x_n} 有界(都在 [a, b] 裡面),所以由 B-W 定理,其中必有子數列 {x_{n_k}} 收斂到某個數 x_0。現在就只考慮這個子數列和值域裡對應的子數列 {y_{n_k}},就得到 lim_{k -> ∞} y_{n_k} = lim_{k -> ∞} f(x_{n_k}) = M。最後因為連續函數之性質,f 和 lim 的施用次序可調換,所以 lim_{k -> ∞} f(x_{n_k}) = M 就成了 f(lim_{k -> ∞} x_{n_k}) = M,也就是 f(x_0) = M ─ 這點 M 確實存在於 S 之內!直觀來看,把 {x_{n_k}} 依序軋入 f,就逐漸形成一段靠近 f 頂端的線條,最後因為 f 連續而使這段線條通過 M。最小值依同樣手法即可得到。

從這篇開始採用簡約的 LaTeX 語法,省略大部分 '\'、'$' 並將一些語法簡化為較為可看的形式。看不懂可提問 :P。

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這證明妙啊!

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