反元素證明補完

睡不著，下床把反元素的證明寫得更嚴謹一點。《實數建構 ─ 實數加法與乘法》裡面提到「要嚴謹論證的話，必須從有界遞增有理數列同值的定義驗證 {u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3, ...} ∼ {0, 0, 0, ...}」，而不應該只簡單講「u_n - v_n 趨近於 0」就草草帶過。External link 只用有理數的性質證明「r 為 x 的上界 iff r 為 y 的上界」，沒用到極限。我本來認為此處不能用極限來論證，但後來一想似乎也可以，只是形式不太一樣：實數完備性獨立於實數加（乘）法，所以可以把兩個有理數列 {u_n - v_n} 和 {0, 0, 0, ...} 晉升為實數列，然後用夾擠原理算出 u_n - v_n 的極限等於 0。有界增實數列的極限即其最小上界，現在兩個數列的最小上界相同，就可以推論得「r 為 x 的上界 iff r 為 y 的上界」。

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可以睡啦 XD。

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補注：後來一想又覺得有麻煩。極限建立於 metric space 之上，而 metric space 的 distance function 值域是非負實數，而且有三角不等式 d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)，也就是用到了實數加法！所以可能還是從有理數系的性質證明比較沒爭議。