LU Decomposition

前幾週想到這個 C++ data abstraction 示例，感覺上還不錯，把很多重點都串起來了，描述如下：

1. 造出基本的 SquareMatrix class：這裡涵蓋基本的 class 概念，constructor 與 (member) function 的撰寫，arithmetic operator overloading，以及 const correctness。可能被挑剔的一點是：我習慣把 call operator 寫成矩陣元素存取，這在 C++ 其實是 unconventional usage。
2. 寫出回返 L 和 U 兩個矩陣的函式：演算法本身當然需要稍加描繪（嚴謹證明部份可暫且省略），記得闡明這個函式為 const。
3. 實作 cached LU 分解：算出 L 和 U 之後暫存起來，只要矩陣內容不變，下次索取 L, U 時可直接回傳。「矩陣值變」的判準暫先採用「non-const call operator 被呼叫」。儲存 L 和 U 的記憶體採用動態配置，所以 copy-control 三成員要補上，其中 copy assignment operator 使用 copy-n-swap idiom，所以也涉及一點 exception safety。分解函式為 const，但可能修改指向 L, U 的 pointer，所以比較罕見一點的 mutable members 也自然進入視野。
4. 用 proxy objects 更精確掌控矩陣的修改時機：上一步驟的矩陣值變判準顯然不夠精確，所以此步令 non-const call operator 傳回一個 proxy object，精確判定矩陣元素是否被修改。撰寫 proxy object 也會用到 conversion operator。

感覺上值得寫成文章 XD。可是前一篇 ACM #476 ~ 478 都還沒寫完，從大一寫到現在 XD。（後者是從 476 ~ 478 引出多型，然後進一步模仿《Modern C++ Design》實作簡單、特化的 object factory（which is a Singleton），是 OOP 的例子。）

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寫成文章的話，大概得寫 LU 'P' 分解 XD。