Cauchy's Integral Formula

假設最基本的 Cauchy's integral formula 已經有了（直接由 Cauchy's integral theorem 證得），並有引理「函數在 a 點可 power series 展開 ==> 那個 power series 即為 Taylor series」（由冪級數基本定理證得，實變複變都對）。現在假設 f 在 D = { z | |z - a| < R } 上可導，並令 C = \partial D，要證明

D 為 open ==> 存在一個 delta > 0 使 B_delta (z) 包含於 D，顯然 |z - a| + delta <= R。對於 B_delta (z) 裡面任一點 z'，依 Cauchy integral formula

依三角不等式

所以 |z' - z| / |w - z| < 1。而函數 1 / (1 - z) 在 |z| < 1 的收斂半徑內可展開為冪級數

接著依冪級數基本定理的均勻收斂定理

最後由引理得到

即為所求。

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改一下「可微 ==> 解析」的證明就出來了。