2007/09/04

進展

昨天半夜看〈Putting Curry-Howard to Work〉看到一半整個亂掉,決定重頭再慢慢看一次。Second pass 狀況好很多,記住 propositions as types、values as proofs (witnesses),然後小心釐清誰是 value 誰是 type,就多懂好幾成。不過還僅只於看懂,要講一遍或寫一些 nontrivial programs 還非常吃力 XD。

Extensible kind system 雖然邏輯上是個很自然的延伸,可是寫到 *1 就已經很難理解了 XD。

不過 Omega interpreter 的效能真的很恐怖,我打個 #100 就掛了 XD。

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最重要的是:我能打出字了 XD。


從昨天就想把一般動態的 list [a] 轉成靜態、長度固定的 List a n。這直覺上不可能,但如果能說類似 "exists n. List a n" 的東西,似乎就有機會。剛剛我模仿〈Put Curry-Howard to Work〉section 10 的方法去做:

data List :: *0 ~> Nat ~> *0 where
  Nil :: List a Z
  Cons :: a -> List a n -> List a (S n)

data Covert :: (*0 ~> Nat ~> *0) ~> *0 ~> *0 where
  Hide :: (t a x) -> Covert t a

d2s :: [a] -> Covert List a
d2s [] = Hide Nil
d2s (x : xs) = let (Hide ys) = d2s xs in Hide (Cons x ys)

然後在 Omega interpreter 裡面說

prompt> let (Hide xs) = d2s [1, 2, 3, 4]
xs
prompt> xs
(Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 (Cons 4 Nil)))) : List Int _a
prompt> (Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 (Cons 4 Nil))))
(Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 (Cons 4 Nil)))) : List Int 4t
prompt> Cons 5 xs
(Cons 5 (Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 (Cons 4 Nil))))) : List Int (1+_a)t

顯然那個靜態的長度資訊不可能拿出來,雖然符合直覺可是很可惜 XD。(Epigram 可能就可以了?)文內的例子是 msort :: [Covert Nat'] -> Covert Dss,其中 Dss n 是「最大元素為 n 且遞減的數列」,這裡用 Covertn 藏起來就無關痛癢 ─ 這份資訊只用在 type-checking 時檢驗 msort 的排序性質而已。


我實在看不懂 theorem 的寫法。照著〈Omega Users' Guide〉掰一個:

assoc :: Nat' x -> Equal {plus x (S y)} {plus (S x) y}
assoc Z = Eq
assoc (S x) = Eq where theorem indHyp = assoc x 

theorem associativity = assoc 

This works for revcat,可是覺得莫名其妙。


喔,是因為已經賦予 assoc 一個 type,所以只寫 Eq 就可以做 inference 嗎?直覺上是可以了,可是內部機制還完全不了解 XD。merge 再加一個 right-identity theorem Nat' x -> Equal {plus x Z} x 也 check 了。

然後若要讓 revcat 在 Epigram 之下 check,這正好是〈Why Dependent Types Matter〉section 4.1 的例子。看起來精神和 Omega 一樣,都是提供一個事實供 typechecker 往下推導。

另外,該節所寫出的兩個 proofs 正好是我寫的 associativity 和 right-identity theorems,讓人懷疑這兩個 theorems 有特殊的地位。我想應該是因為這兩個 theorems 正好對 plus 的第二個參數做 structural induction,然後把 induction 推到第一個參數去,從而迎合 plus 的定義。(想到切牛排要看肌理切 XD。)


一個小問題:有沒有辦法設計一個情境,測試 Omega 能否從 {plus (S x) y} 推到 {plus x (S y)}

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