Second-Price Auction

今天的隨機客賽局理論講了 "second-price auction"，即出最高價者得標，但付第二高的價格。在這個賽局下，每個玩家只要喊出自己對於貨品的估價就絕不吃虧 ─ 這當然是在某個特別設定之下所導出的結果。以下是口語解釋。

場景是數個玩家競標一件貨品，每個玩家各自都對這件貨品有個估價，之後每個人同時出一個價錢並互相比較，出最高價者得標。很單純地看，當一個玩家以低於其估價的價錢得標，他的獲益便是估價與「得標價」的差值（「得標價」取決於拍賣模式，例如可能是最高出價也可能是第二高價）；相反地，當他以高於其估價的價錢得標，他便損失得標價和估價的差值；如果他沒得標，則不賺不賠。以數學式表示的話：

獲益 := 若 此玩家得標 則為 估價 - 標價 否則為 0

在這樣的設定下，若採「得標者付最高價」模式，每個玩家都沒有「不吃虧策略」，亦即不可能存在一個固定出價，使得無論其餘玩家如何出價都能在那種形勢下獲益最多。讓我們反證這個說法，假設有個固定出價 x 滿足前面的敘述。現在只要第二高的出價比 x 還要低（亦即目前考慮的玩家得標），這個情況下 x 就不是最好的，因為玩家可以調低 x 而得到更好的獲益（注意在獲益式裡面「標價」前有個負號）。

然而若採「得標者付第二高價」模式，這時玩家就有「不吃虧策略」了，也就是一開始所提的「直接出自己的估價」。令「除自己以外的所有出價」當中最高者為 y，即當玩家得標時必須付出的價錢。

• 當 y 大於估價，贏了只有傷害沒有好處，所以玩家應該出比 y 小的價錢以便全身而退。y 是任意的，所以出價應當小於等於估價。
• 當 y 小於等於估價，玩家便應當出最高價（即大於 y 的價錢）得標，因為獲益是正的。y 任意，所以出價應當大於等於估價。

綜合兩個情況的分析，就得知應當喊出自己的估價。

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以上是很不正式的解釋 XD。