2009/02/23

Componentwise

當我們有兩個 groups G 和 G',我們可以取它們的 direct product G × G',其上的操作是對每個分量個別運算。可以很直覺地想像,這樣的定義確實造就一個 group。

另一方面,任意的函數集 GA = (A → G)(其中 G 是一個 group)也可以擴充成一個 group ─ 只要定義 (f · g) x = f(x) · g(x) 即可。Martin-Löf 這時會跳出來說:A → G 其實是一堆 G 的 cartesian product,以 A 的元素當作 index。例如 ℕ → G 就相當於 G × G × G × ⋯,一個函數 f : ℕ → G 就相當於一個 countably infinite tuple (f(0), f(1), f(2), ...)。如此詮釋下,(f · g) x = f(x) · g(x) 的意義就很明顯:「f · g 的 x 分量」是「f 的 x 分量」乘上「g 的 x 分量」,其實就是推廣的 direct product。

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和 accessibility 一樣,這裡丟掉 higher-order 的想法會更直覺簡單 XD。

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