Urysohn lemma

週五重讀 Urysohn lemma 的證明，這次終於獲得直覺了：在山峰和平地之間用 normality 造出層層嵌套的 open sets、畫出一圈圈稠密的等高線，然後取這些高度作為目標連續函數的值。確實是相當美妙的證明。接著我先輕輕帶過 metrisability 的精準刻劃，迫不及待地進入 algebraic topology。Munkres 書寫得真是好，他點出 topology 上的重要問題：如何判定兩個 topological spaces 是不是 homeomorphic？要說兩個 spaces 是 homeomorphic 相對簡單 ─ 只要找到那個 homeomorphism 就行了；要說兩個 spaces 不是 homeomorphic 就顯得比較困難，但因為 homeomorphisms 是保持拓樸性質的變換，因此如果能找到一個拓樸性質，使得兩個 spaces 當中只有一個滿足這性質，那麼這兩個 spaces 就不是 homeomorphic。Munkres 舉了一些例子，例如 simple connectedness。但 Munkres 很快地接入：

There is an idea more general than the idea of simple connectedness, an idea that includes simple connectedness as a special case. It involves a certain group that is called the fundamental group of the space. Two spaces that are homeomorphic have fundamental groups that are isomorphic. And the condition of simple connectedness is just the condition that the fundamental group of X is the trivial (one-element) group.

看到這裡，我連 fundamental groups 的定義都還沒看到就已經又淚水盈眶了，代數導論談的 Galois theory 和簡短的 algebraic topology 介紹立刻湧上心頭，一股很甜蜜的滋味。數學家就是有辦法用這麼美妙的方式去構造他們的理論啊啊啊！我在 Trek Begins 裡面說我已經屏棄這種用感情看數學的觀點，現在看來那句應該刪掉才對 XD。

週五下午到樓下辦事，剛好看到新來的 73 梯學弟。他的目標是考取台大資工所（或網媒所？），說有問題再向我請教。我當下當然欣然稱好，但事後想到，要是他只問一些「行政」上的問題的話我大概會很失望 ─ 我那時的直覺反應是學術上的問題 XD。Well, 這位學弟的工作處室在另一棟建築物，所以即使上班有空閒時間大概也很難有機會切磋吧，回到宿舍要嘛太累、要嘛得讀英文。欸，再看看情況嘍。

因為 KDX 和 OpticBook 4600 的活躍，無書計畫實行得相當成功。只不過房間裡沒擺上一排書，氣氛確實差了點。話說回來，我一點都不想退伍時再一次搬七、八十本書回去，所以稍差的氣氛是可以忍受的 XD。房間現在的擺設其實已經相當舒服，比較麻煩的是地板的維護。地板現在鋪上深藍色的巧拼，視覺效果很好，但毛屑落在上面顯得相當清楚，因此三天兩頭就得用膠帶清理一次。幸好灰塵算少，連 GGG 都不太需要清理，否則我每天回宿舍只要清地板就不用做其他事了 XD。

這週覺得讀書的方向感不是很好。IELTS 的準備還不是很上軌道，基礎科目如 topology、mathematical logic 的進度也不甚理想，重點是我似乎忘記了自己其實還沒確實找到我想解決的問題。九月或許還好，但十月開始就真的得好好考慮一番了，否則鎮日只沉迷於發現新定理的喜悅之中，態度就和當 undergraduate 時沒什麼兩樣，終究是做不出成果的。

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這篇是標準的大雜燴 XD。