實數建構 ─ 實數完備性

承接《實數建構 ─ 有界增數列與實數系之全序》和《實數建構 ─ 實數加法與乘法》，這篇打造當初建構實數最重要的目標 ─ 實數完備性。

實數完備性即「有上界遞增的實數數列必收斂至一個實數」。證明分為兩部份：首先證明任意有上界遞增的實數列都有「最小上界」（假設 r 是最小上界，那麼 r 是上界，而且比 r 小的數都不是上界），然後證明那個最小上界就是實數列的極限。前者的證明方式是從「實數列中的每個元素背後的有理增數列」揀取出一個有理增數列，每一項都夾在相鄰兩個實數元素之間，這個有理增數列所代表的實數就是我們要的最小上界。至於後者就得請出數列極限的 epsilon-N 定式。

首先證明最小上界存在。實數完備性的敘述對象是遞增數列，後項可能等於前項，但不妨設 ξ_1 < ξ_2 < ξ_3 < ...（嚴格遞增），等號可另外處理。而且 {ξ_n} 上方有界，即 ξ_k ≤ r forall k（上方有界）。這個實數列中每個元素背後都是有理增數列：ξ_1 ∼ x_1 = {x_11, x_12, x_13, ...}，ξ_2 ∼ x_2 = {x_21, x_22, x_23, ...} …，其中 x_ij ≤ x_i j+1 forall i and j。ξ_1 < ξ_2，故可在 x_2 內找到 x_2k 為 x_1 的上界，令此數為 y_1；ξ_2 又小於 ξ_3，而可在 x_3 內找到 x_3k 為 x_2 的上界，令此數為 y_2；…。依此類推在每個實數背後的有理數列各取一個數，形成一個新的遞增有理數列，實數列的相鄰兩項之間都夾一個 y_k，如此跑到無窮。這個遞增有上界（因為 {ξ_n} 有上界）的有理數列 {y_n} 所代表的實數 η 就是我們要的最小上界（正式證明時，必須從實數相互比較的定義證明 "ξ_n ≤ η forall n" 和 "ζ < η ==> ζ 不是 {ξ_n} 的上界" 兩件事，此處不詳述）。

接下來就輪到數列極限的 epsilon-N 定式登場，證明最小上界就是極限值。epsilon-N 定式如是說：對於任意小的距離 epsilon（> 0），都能找到夠大的 N，使得數列中第 N 項以後的每一項與極限值的差距都小於 epsilon。現在給定一個 epsilon，η 為最小上界，所以 η - epsilon 不是 {ξ_n} 的上界，從而可找到某一項 ξ_N，此項之後的每一項都大於 η - epsilon（n > N ==> ξ_n > η - epsilon）。又 η + epsilon 顯然是 {ξ_n} 的上界，所以 η + epsilon > ξ_n forall n。合併兩個不等式，就得到 η - epsilon < ξ_n < η + epsilon whenever n > N，也就是 |ξ_n - η| < epsilon whenever n > N。至此我們就用 epsilon-N 語言證明了 lim_{n -> \infty} ξ_n = η，建立實數完備性。

有了實數完備性，立刻可推得等價的區間套定理，往上推出 Bolzano-Weierstrass 定理，然後有連續函數的中間值定理和最大最小值定理，打通微積分學的任脈。另外區間套定理又能證得 Heine-Borel 定理，往上證明函數在閉區間上連續則必均勻連續，最後證得函數在閉區間上連續則 Riemann 可積，打通微積分學的督脈。整套微積分就奠基於微積分學根本定理，而後者又來自實數完備性。又例如研究 R^n topology 時，Heine-Borel 定理和 B-W 定理聯合搭造 compact、closed & bounded、sequentially compact 三者間的等價關係。當我們談到無理數，談到數線連續，背後全是實數完備性起作用。數學家經千餘年終於成功打造出實數這隻大怪物，的確能引以為傲 ─ 雖然絕大部份實數都不是我們能觸及的。

--
Topology 好像沒辦法寫得多淺顯了 XD。