Annihilators

回到 rank A = rank A^T，Mac Lane & Birkhoff 證明時用到

dim S + dim (Annih S) = dim V

其中 S 是 finite-dimensional vector space V 的 subspace。關於 annihilators 其實有兩個更強的式子：

S* ≅ V* / Annih S

和

(V/S)* ≅ Annih S

對任一個同構式兩邊取 dim 都可以得到最先列出的維度式（要用到「V 同構於 V*」）。第二個同構式比較好理解：Annih S 的元素是那些把 S 銷為 0 的 morphisms，所以它們在 V 上的行為完全取決於它們在 V/S 上的行為（universal property of quotients）。第一個同構式就讓我很困擾，很難想像右邊是什麼東西。如果鑽一陣子鑽不出來，我就先用第二式繼續看 rank A = rank A^T 嘍…

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「V 同構於 V*」的直覺好像也還不是很堅固…