Continuations

我最近研讀 dual (vector) spaces 的一個重點（或許說動機）是了解 matrix transpose 究竟發生什麼事。正常的線性代數課程都會描述 matrices 和 linear transformations 之間的對應關係，因此很自然會問一個 transposed matrix 所對應的 linear transformation 是什麼。我一直到最近才接觸 dual spaces，也因此到最近才知道 transposed matrices 對應的是 dual morphisms。給一個 linear transformation

t : V \to V'

並為 finite-dimensional spaces V 和 V' 分別找一組 basis

\{b_j\}_{j=1}^n \subset V, \qquad \{b_i'\}_{i=1}^m \subset V'

和 dual basis

\{x_j\}_{j=1}^n \subset V* = V \to F, \qquad \{x_i'\}_{i=1}^m \subset {V'}^* = V' \to F

那麼對應於 t 的矩陣 A 每個元素可寫成

A_{ij} = x_i'(t b_j) : F

此處 function application（和稍後的 function composition）只以 juxtaposition 表示。因為 1 ∈ F 是 universal to the forgetful functor on the category of vector spaces over F，我們可以把 basis b_j 提升為一個 morphism

b_j^\uparrow(\lambda) = b_j \lambda : F \to F

那麼 A_ij 也可一併提升為

A_{ij}^\uparrow = x_i' t b_j^\uparrow : F \to F

直觀意義是把 V 上（相對於 { b_j }）第 j 個分量轉換為 V' 上（相對於 { b_i' }）第 i 個分量的 morphism。A^T_ji 也可以從同一個角度看，寫成

{A^{\mathrm T}_{ji}}^\uparrow = b_j^{**} t^* {x_i'}^\uparrow : {V'}^* \to V^* = (V' \to F) \to (V \to F)

其中 b_j^** 是套用 V 到 V^** 的 natural isomorphism 得到的

b_j^{**}(f) = f b_j : V^{**} = V^* \to F = (V \to F) \to F

現在有趣的是我們知道 A^T_ji = A_ij，右側從 basis 跑到 dual basis，左側從 dual basis 跑回 basis。到底是什麼讓兩者跑的方向不同呢？我觀察一陣子，發現右側到左側的變化根本就是改寫成 continuation-passing style 嘛！t^* = f ↦ ft 是 t 的 cps 版本，拿一個 continuation f 接在 t 之後；b_j^** 等於是把 b_j "inject" 成一個 cps function。當 cps functions 接起來時，順序自然就和正常的 function composition 相反了。把視點拉高，若要把一個 linear transformation 改寫成 cps，只要把對應的矩陣裡每個元素都改寫成 cps 就行了。Fascinating! 或許用 continuations 來看 dual spaces 會獲得更多直覺？

今天早上起床就看到 comlab 剛貼出 DPhil 招生公告，接下來一整天都覺得壓力沈重 XD。有獎學金的 deadline 最晚是 22 January 2010，所以我大概剩 11 月把 CV & research proposal 生出來，留一個多月時間讓老師們寫 references（這樣夠吧？）。三個 referees 不好找吶…

另外就是星期一辦管理幹部的候選人推薦，我得了兩票（共十七票），所以下週四要發表「政見」，緊接著完成選舉。欸，因為從推薦票數看來已經很清楚是哪兩人當選了，所以當天算是陪他們選吧 XD。「政見」我倒是不想太隨便就是了，我沒辦法用純開玩笑的心情看這種事…

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等（這次）IELTS 考完再說 XD。Writing 是寫得完了，可是就算 writing 過得去，還有 speaking 擋著呀…