最新線代進度（不是我的）

先前一陣子他都在處理 subspace, span, linear independence, basis, dimension 這些東西。我發現在這個階段幾乎只要用以下三個敘述

1. 若一個 vector space 有 finite basis，則任兩個 bases 大小相同。（有這句話才能開始談 dimension。）
2. 一個 finite dim'l vector space 中，任意 linearly independent subset 都可擴充為 basis。
3. 一個 finite dim'l vector space 中，任意的 finite spanning subset 都可縮減為 basis。

就可以處理絕大部份這邊應該熟知的基本事實。前兩個敘述的標準證法是用 "replacement lemma"，最後一個則直接操作定義即可。都限制在有窮的情況是因為證明起來比較具體好接受。例如從後兩句話馬上推得 l. indep. subset 的大小比 dim 小、spanning subset 則比較大，「一條數線中間是 dim、l. indep. subset 落在左邊、 spanning subset 落在右邊」的圖像就出現了，bases 就集中在 dim 那一點上。又像「W 是 V 的 subspace 則 dim W 比 dim V 小」可很快從第二個敘述做出來：W 的任意一組 basis 在 V 也是 l. indep.，所以可擴充為 V 的 basis。比較麻煩的是 replacement lemma 證起來雖然不至於太抽象，但也不是太容易。不過我認為和證完之後得到的好處相比，應該是滿值得的。（我現在其實放棄向他證明上面三個敘述，先接受再說 XD。）

最近他進入 column space, nullspace, rank 等和解方程式密切相關的主題，也就是一學期份量的線性代數上半段的重點。當習題寫到 rank AB <= min(rank A, rank B) 時，我覺得已經撐不下去了 ─ 這種東西用 linear transformations 來看才是最自然的。於是今天下午我擇要把 l. trans. 和 matrices 的對應關係講了一下，講完之後差點累癱，可以想像他的疲累程度至少是我的兩倍，不過我猜效果應該比硬從矩陣算術解釋好很多。

我覺得退伍時我有信心可以開一學期的線性代數 XD。

--
可以感覺他的數學成熟度正在增加！