Empty basis

最近講線性代數時發現 empty basis 很難解釋。「從空集合可以生出 0」和「空集合是 linearly independent」都是不好接受的東西。Spanning 一般都是在非空集合的情況下解釋，此時很自然說成「一些 vectors 做 linear combination 產生的東西」。Linear independence 則必須反過來講 linear dependence，而後者又會描述為「一個 vector 可表示為其他 vectors 的 linear combination」，也是非空的情況。某些課本直接定義空集合的 span 是 0，以及從 linear independence 的標準定義出發，說 linearly dependent 就是「非 linearly independent」，雖然把空集合的情況都處理好了，但不是很令人滿意。另一種處理 span 的方式是定義 span S 為「包含 S 的最小 subspace」，但這個定義比較難操作，我很懷疑這樣會更容易被初學者接受。我還試過一種做法是把 linear combination 寫成 summation，然後解釋 "summation over an empty set" 定義為 0，因此當 span S 的 S 為空時仍然可產生 0，但這顯然也不好接受。我目前偏好的方式是用圍繞在 subspace 周邊的直覺解釋支撐第一種做法。Span 可以想像成一個動態過程，例如一個 vector 的 span 就是順著這個 vector 的方向不斷延展成一條線，加入另一個方向時就會擴充成一個面，很自然可以想像 span 的封閉性（否則還會繼續延展）從而理解 span 是個 subspace。反過來我們可以問，如果要以上述過程撐起一個 subspace，需要哪些 vectors 才夠？或者更精確地說，如果我們要向別人描述一個 subspace，需要告訴他多少 vectors？一組足以撐起整個 subspace 的 vectors 就稱為這個 subspace 的 spanning set。因為 0 必定包含在 subspace 裡面，如果要描述的是 zero subspace，我們不需要提供任何 vectors。循著這條脈絡，linear independence 就是當我們問「最經濟的 spanning set」時得到的答案。0 不可能在最經濟的 spanning set 裡面，因為提供 0 只能產生 0，但我們早就知道 span 會包含 0，所以 0 是多餘的資訊。空集合顯然是「最經濟」的 spanning set，所以我們也說它是 linearly independent。至於標準的 linear independence 定義，我目前還是只能從非空集合的 linear dependence 推出來，然後說標準定義剛好也適用於空集合的情況。（這涉及 vacuous truth，其實解釋起來也很痛苦。我目前覺得用 Curry-Howard 的 \() 解釋起來最方便，但為了說「標準定義也適用於空集合」而扯出 Curry-Howard 好像太誇張了。）

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其實可以發現我的 linear independence 還沒辦法處理得很圓滿，比方說 span S 定義成「所有包含 S 的 subspaces 的交集」就是很完善的定義，但我想不到 linearly independent set 上的類似定義。有人要提供意見嗎？