2010/01/02

Empty basis

最近講線性代數時發現 empty basis 很難解釋。「從空集合可以生出 0」和「空集合是 linearly independent」都是不好接受的東西。Spanning 一般都是在非空集合的情況下解釋,此時很自然說成「一些 vectors 做 linear combination 產生的東西」。Linear independence 則必須反過來講 linear dependence,而後者又會描述為「一個 vector 可表示為其他 vectors 的 linear combination」,也是非空的情況。某些課本直接定義空集合的 span 是 0,以及從 linear independence 的標準定義出發,說 linearly dependent 就是「非 linearly independent」,雖然把空集合的情況都處理好了,但不是很令人滿意。另一種處理 span 的方式是定義 span S 為「包含 S 的最小 subspace」,但這個定義比較難操作,我很懷疑這樣會更容易被初學者接受。我還試過一種做法是把 linear combination 寫成 summation,然後解釋 "summation over an empty set" 定義為 0,因此當 span S 的 S 為空時仍然可產生 0,但這顯然也不好接受。我目前偏好的方式是用圍繞在 subspace 周邊的直覺解釋支撐第一種做法。Span 可以想像成一個動態過程,例如一個 vector 的 span 就是順著這個 vector 的方向不斷延展成一條線,加入另一個方向時就會擴充成一個面,很自然可以想像 span 的封閉性(否則還會繼續延展)從而理解 span 是個 subspace。反過來我們可以問,如果要以上述過程撐起一個 subspace,需要哪些 vectors 才夠?或者更精確地說,如果我們要向別人描述一個 subspace,需要告訴他多少 vectors?一組足以撐起整個 subspace 的 vectors 就稱為這個 subspace 的 spanning set。因為 0 必定包含在 subspace 裡面,如果要描述的是 zero subspace,我們不需要提供任何 vectors。循著這條脈絡,linear independence 就是當我們問「最經濟的 spanning set」時得到的答案。0 不可能在最經濟的 spanning set 裡面,因為提供 0 只能產生 0,但我們早就知道 span 會包含 0,所以 0 是多餘的資訊。空集合顯然是「最經濟」的 spanning set,所以我們也說它是 linearly independent。至於標準的 linear independence 定義,我目前還是只能從非空集合的 linear dependence 推出來,然後說標準定義剛好也適用於空集合的情況。(這涉及 vacuous truth,其實解釋起來也很痛苦。我目前覺得用 Curry-Howard 的 \() 解釋起來最方便,但為了說「標準定義也適用於空集合」而扯出 Curry-Howard 好像太誇張了。)

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其實可以發現我的 linear independence 還沒辦法處理得很圓滿,比方說 span S 定義成「所有包含 S 的 subspaces 的交集」就是很完善的定義,但我想不到 linearly independent set 上的類似定義。有人要提供意見嗎?

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Blogger XOO1/02/2010 2:21 am 說:

>「最經濟的作法」

讚耶, 這類的作法不管實際上怎麼造, 都幾乎指引一條標準的作法, 給定一個比較鬆的結構 A, 想要往比較複雜的結構 S 走去, 那可以考慮所有包含 A 的 S, 取交集。但是反過來也可以, 像是在拓樸上可以找 S 裡面所有的開集合取聯集, 得到最大的開集合。

拿到 category 就是用 adjoint functor 來描述, 一邊 left functor 是 forgetful 的, 另一邊 right functor 是 free 的;

至於最後一個問題, 很不負責任地丟一個想法, span 對應著 closure operator (in order theory), 而 closure operator 則是對應 monad (in category), 那麼你要問的, 或許可以考慮 monad 的對偶概念, comonad 得到答案?

 
Blogger Josh Ko1/02/2010 1:54 pm 說:

拓樸上還滿容易發現這種例子,像 set S 的 interior 是所有包含於 S 的 open sets 的聯集,S 的 closure 是所有包含 S 的 closed sets 的交集。

Category theory 的部份目前我打算(申請相關事情處理完後)繼續讀 Mac Lane & Birkhoff 的線性代數,從具體一點的情境應該可以比較順暢地進入吧。

 
Blogger Airman Of Chunghua Wind1/05/2010 3:49 pm 說:

> 定義 span S 為「包含 S 的最小 subspace」
初學者常常子空間和子集合傻傻分不清,對於子空間利用"建立維度"的方式去理解、畫圖其實不錯,只是能畫圖的大概就只有幾種XD
至於Spanning set裡面的0,的確就像學長寫的是個不必要的資訊,而且不管linearly independent or dependent的spannin set都存在一組linear combination可以生成0,假如將0算入 linearly independent set就跟independent的定義矛盾了吧(對於某一向量,集合內的其它向量無法藉由linear combination生成此向量)

 

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