A first, crude explanation

我對 "rank A = rank A^T" 的第一版解釋。設 A 為 m x n 矩陣。

考慮 independent columns 的個數 c。我們知道 c 加上 A 的 null space 的維度恆為 n。直覺上，A 把愈多 domain 裡的向量銷為 0，在 codomain 所能展開的空間就愈小。這是大家熟悉的 rank-nullity equation。

次考慮 independent rows 的個數 r。視每個 row 為一個 homogeneous linear equation 的係數，把這些 equations 聯立起來，解空間 ─ 恰好仍是 A 的 null space ─ 的維度加上 r 亦恆為 n。直覺上，有愈多 independent equations 的限制，解空間就愈小。這是關於 annihilators 的維度式。

因為 null space 的維度和 n 固定，c 就等於 r 嘍。

--
這是出發點，下一步是試著用維度式背後的同構式去看。星星斜線滿天飛…

---

把 rows 和 columns 互換一下，可以得到星星比較少的同構式：

Im t ≅ (Im t)* ≅ V' * / Annih Im t = V' * / Ker t* ≅ Im t*

--
看起來稍嫌不友善…